プログラム・数学リファレンス

e^(-x^2-y^2)(ax^2+by^2)の極値

\(e^{-x^2-y^2}(ax^2+by^2),\ (a,\ b>0),\ a<b\)の極値を求める問題が計算が長くなるので、備忘録として残しておくことにしました。

\(e^{-x^2-y^2}(ax^2+by^2),\ (a,\ b>0),\ a<b\)の極値を求めるのに必要な道具

  1. 停留点
  2. ヘッシアン

停留点

\(f(x,\ y)\)が\((x_0,\ y_0)\)で偏微分可能とする。もし\(f(x,\ y)\)が\((x_0,\ y_0)\)で極値をとれば

$$f_x(x_0,\ y_0)=0,\ f_y(x_0,\ y_0)=0$$

である。

ヘッシアン

\(f(x,\ y)\)が\((x_0,\ y_0)\)の近傍において\(C^2\)級とし

$$f_x(x_0,\ y_0)=f_y(x_0,\ y_0)=0$$

とする。\(f(x,\ y)\)の\((x_0,\ y_0)\)におけるヘッシアンを\(H\)とすると

  1. \(H>0,\ f_{xx}(x_0,\ y_0)>0\)ならば\(f(x,\ y)\)は\((x_0,\ y_0)\)で極小となる。
  2. \(H>0,\ f_{xx}(x_0,\ y_0)<0\)ならば\(f(x,\ y)\)は\((x_0,\ y_0)\)で極大となる。
  3. \(H<0\)ならば\(f(x,\ y)\)は\((x_0,\ y_0)\)で極値をとらない。

\(e^{-x^2-y^2}(ax^2+by^2),\ (a,\ b>0),\ a<b\)の極値

\(f(x,\ y)= e^{-x^2-y^2}(ax^2+by^2)\)とおく

停留点

$$f_x(x,\ y)=-2xe^{-x^2-y^2}(ax^2+by^2)+e^{-x^2-y^2}2ax=-2x(ax^2+by^2-a)e^{-x^2-y^2}=0$$

$$f_y(x,\ y)=-2ye^{-x^2-y^2}(ax^2+by^2)+e^{-x^2-y^2}2by=-2y(ax^2+by^2-b)e^{-x^2-y^2}=0$$

$$ax^2+by^2-b=0,\ x=0,\ by^2-b=0,\ y^2=1,\ y=\pm1$$

$$ax^2+by^2-a=0,\ y=0,\ ax^2-a=0,\ x^2=1,\ x=\pm1$$

$$(0,\ 0),\ (\pm1,\ 0),\ (0,\ \pm1)$$

ヘッシアン

$$f_{xx}(x,\ y)=-2(ax^2+by^2-a)e^{-x^2-y^2}-2x\cdot2axe^{-x^2-y^2}-2x(ax^2+by^2-a)(-2x)e^{-x^2-y^2}$$

$$=-2((ax^2+by^2-a)+2ax^2-2x^2(ax^2+by^2-a))e^{-x^2-y^2}$$

$$=-2((ax^2+by^2-a)(1-2x^2)+2ax^2)e^{-x^2-y^2}$$

$$f_{xy}(x,\ y)=-2x\cdot 2bye^{-x^2-y^2}+4xy(ax^2+by^2-a)e^{-x^2-y^2}=4xy(ax^2+by^2-a-b)e^{-x^2-y^2}$$

$$f_{yy}(x,\ y)=-2(ax^2+by^2-b)e^{-x^2-y^2}-2y\cdot2bye^{-x^2-y^2}+4y^2(ax^2+by^2-b)e^{-x^2-y^2}$$

$$=-2((ax^2+by^2-b)+2by^2-2y^2(ax^2+by^2-b))e^{-x^2-y^2}$$

$$=-2((ax^2+by^2-b)(1-2y^2)+2by^2)e^{-x^2-y^2}$$

$$H(x,\ y)=4((ax^2+by^2-a)(1-2x^2)+2ax^2)((ax^2+by^2-b)(1-2y^2)+2by^2)e^{-2(x^2+y^2)}$$

$$-16x^2y^2(ax^2+by^2-a-b)^2e^{-2(x^2+y^2)}$$

$$=4(((ax^2+by^2-a)(1-2x^2)+2ax^2)((ax^2+by^2-b)(1-2y^2)+2by^2)-4x^2y^2(ax^2+by^2-a-b)^2)e^{-2(x^2+y^2)}$$

停留点が\((0,\ 0)\)のとき

$$H(0,\ 0)=4(-a)(-b)=4ab>0,\ f_{xx}(0,\ 0)=2a>0\ 極小値0$$

停留点が\((\pm1,\ 0)\)のとき

$$H(\pm1,\ 0)=4(2a^2-2ab)=8a(a-b)<0\ 鞍点$$

停留点が\((0,\ \pm1)\)のとき

$$H(0,\ \pm1)=4(b-a)2b=8b(b-a)>0,\ f_{xx}(0,\ \pm1)=-2(b-a)<0,\ 極大値f(0,\ \pm1)=e^{-1}b=\frac{b}{e}$$

参考文献