プログラム・数学リファレンス

z=(x+y)/(x^2+y^2+1)の最大値・最小値

\(z=\frac{x+y}{x^2+y^2+1}\)の最大値・最小値を求めるのに必要な道具

  1. 停留点
  2. 虚数に大小はない

停留点

\(f(x,\ y)\)が\((x_0,\ y_0)\)で偏微分可能とする。もし\(f(x,\ y)\)が\((x_0,\ y_0)\)で極値をとれば

$$f_x(x_0,\ y_0)=0,\ f_y(x_0,\ y_0)=0$$

である。

虚数に大小はない

  1. \(0<i\)と仮定すると\(0<i^2,\ 0<-1\)の矛盾が生じる。
  2. \(0>i\)と仮定すると\(0>i(-i),\ 0>1\)と矛盾した不等式になる。

\(z=\frac{x+y}{x^2+y^2+1}\)の最大値・最小値

停留点

$$z_x=\frac{x^2+y^2+1-(x+y)2x}{(x^2+y^2+1)^2}=\frac{-x^2-2xy+y^2+1}{(x^2+y^2+1)^2}=0$$

$$z_y=\frac{x^2+y^2+1-(x+y)2y}{(x^2+y^2+1)^2}=\frac{x^2-2xy-y^2+1}{(x^2+y^2+1)^2}=0$$

$$\begin{cases}
-x^2-2xy+y^2+1=0&\cdots①\\
x^2-2xy-y^2+1=0&\cdots②
\end{cases}$$

$$①+② -4xy+2=0,\ 4xy=2,\ x=\frac{1}{2y}を②に代入$$

$$\frac{1}{4y^2}-1-y^2+1=0,\ 1-4y^4=0,\ 4y^4=1,\ y^4=\frac{1}{4},\ y^4-\frac{1}{4}=0$$

$$\left(y^2-\frac{1}{2}\right)\left(y^2+\frac{1}{2}\right)=0,\ \left(y-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(y+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(y^2+\frac{1}{2}\right)=0,\ y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$$

停留点

\(\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) iに大小はない

停留点が\(\left(\frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt2}{2}\right)\)のとき

$$最大値 z\left(\frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

停留点が\(-\left(\frac{\sqrt2}{2},\ -\frac{\sqrt2}{2}\right)\)のとき

$$最小値 z\left(-\frac{\sqrt2}{2},\ -\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}$$

参考文献