プログラム・数学リファレンス

表面積が一定な直方体のうち体積が最大になるもの

表面積が一定な直方体のうち体積が最大になるもの」は簡単に解けると思っていましたが「ラグランジュの未定乗数法:3 変数の場合」結構手間取ったので記事にしました。

「表面積が一定な直方体のうち体積が最大になるもの」を解くのに必要な道具

ラグランジュの未定乗数法:3 変数の場合

ラグランジュの未定乗数法:3 変数の場合

(a, b, c) が条件 g(x, y, z) = 0 の下での f(x, y, z) の極値をとる点ならば、(a, b, c) は g(x, y, z) = 0 の特異点である。
または
F(x, y, z, λ) = f(x, y, z) − λg(x, y, z) と定義すると、(a, b, c, λ0) が F の停留点に
なるような λ0 が存在する。
が成り立つ。

表面積が一定な直方体のうち体積が最大になるもの

直方体の辺の長さをx,y,zとすると表面積\(Sは S=2(xy+yz+zx)\)

体積は \(f(x,y,z)=xyz\)

制約条件 \(g(x,y,z)=2(xy+yz+zx)-S\)

ラグランジュの未定乗数法

$$F(x,y,z,\lambda)=xyz-\lambda(2xy+2yz+2zx-S),\ F_x=yz-\lambda(2y+2z)=0$$

$$F_y=zx-\lambda(2z+2x)=0,\ F_z=xy-\lambda(2x+2y)=0$$

\(yz-\lambda(2y+2z)=0\)より、\(\lambda=\frac{yz}{2y+2z}\), \(xz-\lambda(2x+2z)=0\)より、\(\lambda=\frac{xz}{2x+2z}\)

\(xy-\lambda(2x+2y)=0\)より、\(\lambda=\frac{xy}{2x+2y}\)

$$\frac{yz}{2y+2z}=\frac{xz}{2x+2z},\ y(2x+2z)=x(2y+2z),\ 2xy+2yz=2xy+2xz,\ 2yz=2xz,\ x=y$$

$$\frac{xz}{2x+2z}=\frac{xy}{2x+2y},\ z(2x+2y)=y(2x+2z),\ 2xz+2yz=2xy+2yz,\ 2xz=2xy,\ y=z$$

表面積が一定な直方体のうち体積が最大になるもの

体積が最大になるのは\(x=y=z\)のとき つまり、立方体

参考文献