表面積が一定な直方体 のうち 体積が最大 になるもの

2020年7月21日

表面積が一定な直方体 のうち 体積が最大 になるもの は簡単に解けると思っていましたがラグランジュの未定乗数法:3 変数の場合結構手間取ったので記事にしました。

数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

「表面積が一定な直方体のうち体積が最大になるもの」を解くのに必要な道具

ラグランジュの未定乗数法:3 変数の場合

ラグランジュの未定乗数法:3 変数の場合

(a, b, c) が条件 g(x, y, z) = 0 の下での f(x, y, z) の極値をとる点ならば、(a, b, c) は g(x, y, z) = 0 の特異点である。
または
F(x, y, z, λ) = f(x, y, z) − λg(x, y, z) と定義すると、(a, b, c, λ0) が F の停留点に
なるような λ0 が存在する。
が成り立つ。

表面積が一定な直方体のうち体積が最大になるもの

直方体の辺の長さをx,y,zとすると表面積Sは、S=2(xy+yz+zx)

体積は、f(x,y,z)=xyz

制約条件 g(x,y,z)=2(xy+yz+zx)-S

ラグランジュの未定乗数法

$$F(x,y,z,\lambda)=xyz-\lambda(2xy+2yz+2zx-S),\ F_x=yz-\lambda(2y+2z)=0$$

$$F_y=zx-\lambda(2z+2x)=0,\ F_z=xy-\lambda(2x+2y)=0$$

\(yz-\lambda(2y+2z)=0\)より、\(\lambda=\frac{yz}{2y+2z}\), \(xz-\lambda(2x+2z)=0\)より、\(\lambda=\frac{xz}{2x+2z}\)

\(xy-\lambda(2x+2y)=0\)より、\(\lambda=\frac{xy}{2x+2y}\)

$$\frac{yz}{2y+2z}=\frac{xz}{2x+2z},\ y(2x+2z)=x(2y+2z),\ 2xy+2yz=2xy+2xz,\ 2yz=2xz,\ x=y$$

$$\frac{xz}{2x+2z}=\frac{xy}{2x+2y},\ z(2x+2y)=y(2x+2z),\ 2xz+2yz=2xy+2yz,\ 2xz=2xy,\ y=z$$

表面積が一定な直方体のうち体積が最大になるもの

体積が最大になるのは、x=y=zのとき つまり 立方体

参考文献

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