プログラム1歩ずつ前進

lim[z->1+i](z^2-iz-1-i)/(z^2-2i)の解き方

\(\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}\) の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。

\(\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}\)を解くのに必要な道具

因数定理

因数定理

「多項式f(x)が因数として(x-a)をもつ⇔f(a)=0」が成立するという定理

\(\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}\)の解法

$$\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}$$

単純にzに1+iを代入すると、分子・分母ともに0(\(\frac{0}{0}\)の不定形)になってしまいます。

因数定理

分子・分母ともに1+iを代入すると0になるので因数として(z-1-i)を持ちます。

  1. 分子:\((z^2-iz-1-i)\div(z-1-i)=z+1\)
  2. 分母:\((z^2-2i)\div(z-1-i)=z+1+i\)

\(\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}\)の解法

$$\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z^2-iz-1-i}{z^2-2i}$$

$$=\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{(z-1-i)(z+1)}{(z-1-i)(z+1+i)}$$

$$=\displaystyle \lim_{z \to 1+i}\frac{z+1}{z+1+i}$$

$$=\frac{2+i}{2+2i}$$

$$=\frac{(2+i)(2-2i)}{(2+2i)(2-2i)}$$

$$=\frac{6-2i}{4+4}$$

$$=\frac{6-2i}{8}$$

$$=\frac{3-i}{4}$$

参考文献