(1/2)log((1-cosx)/(1+cosx))からlog tan(x/2)を導く倍角の公式

2021年2月19日

∫(1/sin)=(1/2)log((1-cosx)/(1+cosx)), ∫(1/sin)=log tan(x/2)なので (1/2)log((1-cosx)/(1+cosx))からlog tan(x/2) を直接導いてみました。

\(\int\frac{1}{sin\ x}=\frac{1}{2}log\left(\frac{1-cos\ x}{1+cas\ x}\right),\ \int\frac{1}{sin\ x}=log\left(tan\frac{x}{2}\right)\)なので \(\frac{1}{2}log\left(\frac{1-cos\ x}{1+cas\ x}\right)からlog\left(tan\frac{x}{2}\right)\) を直接導いてみました。

数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

\(\frac{1}{2}log\left(\frac{1-cos\ x}{1+cas\ x}\right)\)から\(log\left(tan\frac{x}{2}\right)\)を導くのに必要な道具 (1/2)log((1-cosx)/(1+cosx)) から log tan(x/2) を導くのに必要な道具

sinの半角の公式

$$sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-cos\theta}{2}$$

sinの半角の公式の証明

cosの加法定理cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβにおいてα=β=θとおくと

$$cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta=1-2sin^2\theta$$

$$cos2\theta=1-2sin^2\theta,\ 2sin^2\theta=1-cos2\theta,\ sin^2\theta=\frac{1-cos2\theta}{2}$$

θを\(\frac{\theta}{2}\)に置き換えれば

$$sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-cos\theta}{2}$$

cosの半角の公式

$$cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+cos\theta}{2}$$

cosの半角の公式の証明

cosの加法定理cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβにおいてα=β=θとおくと

$$cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta=2cos^2\theta-1$$

$$cos2\theta=2cos^2\theta-1,\ 2cos^2\theta=1+cos2\theta,\ cos^2\theta=\frac{1+cos2\theta}{2}$$

θを\(\frac{\theta}{2}\)に置き換えれば

$$cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+cos\theta}{2}$$

\(\frac{1}{2}log\left(\frac{1-cos\ x}{1+cas\ x}\right)\)から\(log\left(tan\frac{x}{2}\right)\)を導く (1/2)log((1-cosx)/(1+cosx)) から log tan(x/2) を導く

$$\frac{1}{2}log\left(\frac{1-cos\ x}{1+cas\ x}\right)=log\left(\frac{1-cos\ x}{1+cas\ x}\right)^{\frac{1}{2}}=log\left(\frac{\frac{1-cos\ x}{2}}{\frac{1+cas\ x}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{sin^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=log\ tan\frac{x}{2}$$

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