数学リファレンス

(1/2)log((1-cosx)/(1+cosx))からlog tan(x/2)を導く

\(\int\frac{1}{sin\ x}=\frac{1}{2}log\left(\frac{1-cos\ x}{1+cas\ x}\right),\ \int\frac{1}{sin\ x}=log\left(tan\frac{x}{2}\right)なので\frac{1}{2}log\left(\frac{1-cos\ x}{1+cas\ x}\right)からlog\left(tan\frac{x}{2}\right)\)を直接導いてみました。

\(\frac{1}{2}log\left(\frac{1-cos\ x}{1+cas\ x}\right)からlog\left(tan\frac{x}{2}\right)\)を導くのに必要な道具

  1. \(sin\)の半角の公式
  2. \(cos\)の半角の公式

\(sin\)の半角の公式

$$sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-cos\theta}{2}$$

\(sin\)の半角の公式の証明

\(cosの加法定理cos(\alpha+\beta)=cos\alpha\ cos\beta-sin\alpha\ sin\betaにおいて\alpha=\beta=\theta\)とおくと

$$cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta=1-2sin^2\theta$$

$$cos2\theta=1-2sin^2\theta,\ 2sin^2\theta=1-cos2\theta,\ sin^2\theta=\frac{1-cos2\theta}{2}$$

\(\thetaを\frac{\theta}{2}\)に置き換えれば

$$sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-cos\theta}{2}$$

\(cos\)の半角の公式

$$cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+cos\theta}{2}$$

\(sin\)の半角の公式の証明

\(cosの加法定理cos(\alpha+\beta)=cos\alpha\ cos\beta-sin\alpha\ sin\betaにおいて\alpha=\beta=\theta\)とおくと

$$cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta=2cos^2\theta-1$$

$$cos2\theta=2cos^2\theta-1,\ 2cos^2\theta=1+cos2\theta,\ cos^2\theta=\frac{1+cos2\theta}{2}$$

\(\thetaを\frac{\theta}{2}\)に置き換えれば

$$cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+cos\theta}{2}$$

\(\frac{1}{2}log\left(\frac{1-cos\ x}{1+cas\ x}\right)からlog\left(tan\frac{x}{2}\right)\)を導く

$$\frac{1}{2}log\left(\frac{1-cos\ x}{1+cas\ x}\right)=log\left(\frac{1-cos\ x}{1+cas\ x}\right)^{\frac{1}{2}}=log\left(\frac{\frac{1-cos\ x}{2}}{\frac{1+cas\ x}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{sin^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=log\ tan\frac{x}{2}$$

参考文献