(1-tan^2(x/2))/(1+tan^2(x/2)) の解き方 倍角の公式

2021年2月15日

(1-tan^2(x/2))/(1+tan^2(x/2)) を解くのに必要な道具

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\(\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}\)を解くのに必要な道具 (1-tan^2(x/2))/(1+tan^2(x/2)) を解くのに必要な道具

cosの倍角の公式

$$cos2\theta=2cos^2\theta-1$$

cosの倍角の公式の証明

cosの加法定理cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβにおいてα=β=θとおくと

$$cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta=cos^2\theta-(1-cos^2\theta)=2cos^2\theta-1$$

tanの倍角の公式

$$tan2\theta=\frac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}$$

tanの倍角の公式の証明

tanの加法定理tan(α+β)=\(\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha\ tan\beta}\)においてα=β=θとおくと

$$tan2\theta=\frac{tan\theta+tan\theta}{1-tan\theta\ tan\theta}=\frac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}$$

\(\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}\)の解法 (1-tan^2(x/2))/(1+tan^2(x/2)) の解法

\(tan\frac{x}{2}\)=tとおくと

$$\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{2}{1+t^2}-1=2\left(\frac{1}{1+t^2}\right)-1$$

tを\(tan\frac{x}{2}\)に戻すと

$$2\left(\frac{1}{1+t^2}\right)-1=2\left(\frac{1}{1+tan^2\frac{x}{2}}\right)-1=2cos^2\frac{x}{2}-1$$

cosの倍角の公式cos2θ=\(2cos^2\theta-1\)のθを\(\frac{x}{2}\)に置き換えると

$$cos\ x=2cos^2\frac{x}{2}-1$$

\(\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}\)

$$=2cos^2\frac{x}{2}-1=cos\ x$$

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