(1-tan^2(x/2))/(1+tan^2(x/2))の解き方

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\(\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}\)を解くのに必要な道具

  1. cosの倍角の公式
  2. tanの倍角の公式

cosの倍角の公式

$$cos2\theta=2cos^2\theta-1$$

cosの倍角の公式の証明

\(cosの加法定理cos(\alpha+\beta)=cos\alpha\ cos\beta-sin\alpha\ sin\betaにおいて\alpha=\beta=\theta\)とおくと

$$cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta=cos^2\theta-(1-cos^2\theta)=2cos^2\theta-1$$

tanの倍角の公式

$$tan2\theta=\frac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}$$

tanの倍角の公式の証明

\(tanの加法定理tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha\ tan\beta}において\alpha=\beta=\theta\)とおくと

$$tan2\theta=\frac{tan\theta+tan\theta}{1-tan\theta\ tan\theta}=\frac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}$$

\(\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}\)の解法

\(tan\frac{x}{2}=t\)とおくと

$$\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{2}{1+t^2}-1=2\left(\frac{1}{1+t^2}\right)-1$$

\(tをtan\frac{x}{2}\)に戻すと

$$2\left(\frac{1}{1+t^2}\right)-1=2\left(\frac{1}{1+tan^2\frac{x}{2}}\right)-1=2cos^2\frac{x}{2}-1$$

\(cosの倍角の公式cos2\theta=2cos^2\theta-1の\thetaを\frac{x}{2}\)に置き換えると

$$cos\ x=2cos^2\frac{x}{2}-1$$

\(\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}\)

$$=2cos^2\frac{x}{2}-1=cos\ x$$

参考文献

大学数学入門(高校数学の復習)