プログラム・数学リファレンス

∫∫∫v sin(x+y+z)dxdydz V:0<=y<=x<=π/2,0<=z<=x+y

\(\iiint_V sin(x+y+z)dxdydz\ V:0\le y\le x\le\frac{\pi}{2},\ 0\le z\le x+y\)を解くのに必要な道具

固定された変数の値に依存する積分区間を先に積分する。

積分区間

固定された変数の値に依存する積分区間を先に積分する。

\(\iiint_V sin(x+y+z)dxdydz\ V:0\le y\le x\le\frac{\pi}{2},\ 0\le z\le x+y\)の解法

積分区間

$$0\le x\le \frac{\pi}{2},\ 0\le y\le x,\ 0\le z\le x+y$$

1変数関数の積分を3度行う累次積分

$$\iiint_V sin(x+y+z)dxdydz=\int_0^\frac{\pi}{2}dx\int_0^xdy\int_0^{x+y}sin(x+y+z)dz$$

$$=-\int_0^\frac{\pi}{2}dx\int_0^xdy[cos(x+y+z)]^{x+y}_0=-\int_0^\frac{\pi}{2}dx\int_0^x(cos(2x+2y)-cos(x+y))dy$$

$$=-\int_0^\frac{\pi}{2}dx\left[\frac{1}{2}sin(2x+2y)-sin(x+y)\right]^x_0=-\int_0^\frac{\pi}{2}\left(\left(\frac{1}{2}sin4x-sinx\right)-\left(\frac{1}{2}sin2x-sinx\right)\right)dx$$

$$=-\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\left(sin4x-sin2x\right)dx =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{4}cos4x-\frac{1}{2}cos2x\right]^{\frac{\pi}{2}}_0$$

$$=\frac{1}{8}(cos2\pi-2cos\pi-(cos0-2cos0))=\frac{1}{8}(1+2+1)=\frac{1}{8}\cdot4=\frac{1}{2}$$

参考文献