lim[n->∞]2nsin(π/n)の解き方

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}2nsin\frac{\pi}{n}は\lim_{n\to\infty}sin\frac{\pi}{n}=0です。ゆえに、この問題は「\infty\cdot 0の不定形」\)の問題です。

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}2nsin\frac{\pi}{n}\)を解くのに必要な道具

$$\lim_{\theta\to\infty}\frac{\theta}{sin\theta}=1$$

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}2nsin\frac{\pi}{n}\)の解法

\(\frac{1}{n}=n\)とおくと

\(n\to\inftyのときt\to0\)

よって

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}2nsin\frac{\pi}{n}\)

$$=\lim_{t \to 0}\frac{2sin\ \pi t}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{2\pi sin\ \pi t}{\pi t}=2\pi\lim_{t \to 0}\frac{sin\ \pi t}{\pi t}=2\pi$$

参考文献