∫1/√(x^2+1)dxの解き方

\(\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx\)を解くのに必要な道具

置換積分

置換積分

\(関数f(x)が連続であり、関数\varphi(t)は、微分可能で導関数が\varphi'(t)\)が連続とする。このとき

$$\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$$

が成り立つ。

\(\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx\)の解法

\(x=tan\thetaとおくと\)

\(\frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{cos^2\theta},\ dx=\frac{1}{cos^2\theta}d\theta\)

\(\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx\)

$$=\int\frac{1}{\sqrt{1+tan^2\theta}}\frac{1}{cos^2\theta}d\theta=\int\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{cos^2\theta}}}\frac{1}{cos^2\theta}d\theta=\int\frac{1}{\frac{1}{cos\theta}}\frac{1}{cos^2\theta}d\theta=\int cos\theta\frac{1}{cos^2\theta}d\theta=\int\frac{cos\theta}{1-sin^2\theta}d\theta$$

\(t=sin\theta\)とおくと

\(\frac{dt}{d\theta}=cos\theta,\ dt=cos\theta d\theta\)

\(\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx\)

$$=\int\frac{cos\theta}{1-sin^2\theta}d\theta=\int\frac{1}{1-t^2}dt=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+t}dt+\frac{1}{2}\int\frac{1}{1-t}dt =\frac{1}{2}\int\frac{1}{t+1}dt-\frac{1}{2}\int\frac{1}{t-1}dt$$

$$=\frac{1}{2}log|t+1|-\frac{1}{2}log|t-1|+A=\frac{1}{2}log\left|\frac{t+1}{t-1}\right|+A=\frac{1}{2}log\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+A$$

$$=\frac{1}{2}log\left|\frac{1+sin\theta}{1-sin\theta}\right|+A=\frac{1}{2}log\left|\frac{(1+sin\theta)^2}{1-sin^2\theta}\right|+A=\frac{1}{2}log\left|\frac{(1+sin\theta)^2}{cos^2\theta}\right|+A$$

$$=\frac{1}{2}log\left(\frac{1+sin\theta}{cos\theta}\right)^2+A=log\left(\frac{1+sin\theta}{cos\theta}\right)+A=log\left(\frac{sin\theta}{cos\theta}+\frac{1}{cos\theta}\right)+A$$

$$=log\left(tan\theta+\sqrt{\frac{1}{cos^2\theta}}\right)+A=log\left(tan\theta+\sqrt{1+\tan^2\theta}\right)+A=log\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+A$$

参考文献