∫(1/sinx)dxの解き方

\(\int\frac{1}{sin\ x}dx\)解くのに必要な道具

1. 置換積分
2. \(sin\)の倍角の公式

置換積分

$$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=\int f(t)dt$$

\(sin\)の倍角の公式

$$sin2\theta=2sin\theta cos\theta$$

\(sin\)の倍角の公式の証明

\(sinの加法定理sin(\alpha+\beta)=sin\alpha\ cos\beta+cos\alpha\ sin\betaにおいて\alpha=\beta=\theta\)とおくと

$$sin2\theta=sin\theta cos\theta+cos\theta sin\theta=2sin\theta cos\theta$$

\(\int\frac{1}{sin\ x}dx\)の解法

\(\int\frac{1}{sin\ x}dx\)

$$=\int\frac{1}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}dx=\int\frac{\frac{1}{2cos^2\frac{x}{2}}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}\cdot \frac{1}{2cos^2\frac{x}{2}}}dx=\int\frac{\frac{1}{2cos^2\frac{x}{2}}}{tan\frac{x}{2}}dx=\int\frac{\left(tan\frac{x}{2}\right)’}{tan\frac{x}{2}}dx=log\left|tan\frac{x}{2}\right|+C$$

参考文献