∫(1/sinx)dx の解き方 置換積分

∫(1/sinx)dx を解くのに必要な道具

• 置換積分
• sinの倍角の公式

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\(\int\frac{1}{sin\ x}dx\)を解くのに必要な道具 ∫(1/sinx)dx を解くのに必要な道具

• 置換積分
• sinの倍角の公式

置換積分

$$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=\int f(t)dt$$

sinの倍角の公式

$$sin2\theta=2sin\theta cos\theta$$

sinの倍角の公式の証明

sinの加法定理sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβにおいてα=β=θとおくと

$$sin2\theta=sin\theta cos\theta+cos\theta sin\theta=2sin\theta cos\theta$$

\(\int\frac{1}{sin\ x}dx\)の解法 ∫(1/sinx)dx の解法

\(\int\frac{1}{sin\ x}dx\)

$$=\int\frac{1}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}dx=\int\frac{\frac{1}{2cos^2\frac{x}{2}}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}\cdot \frac{1}{2cos^2\frac{x}{2}}}dx=\int\frac{\frac{1}{2cos^2\frac{x}{2}}}{tan\frac{x}{2}}dx=\int\frac{\left(tan\frac{x}{2}\right)’}{tan\frac{x}{2}}dx=log\left|tan\frac{x}{2}\right|+C$$

参考文献

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