∫(logloglogx)/x・logxdx の解き方

$\int{\frac{logloglog(x)}{x・log(x)}}dx$の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。

※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

$\int{\frac{logloglog(x)}{x・log(x)}}dx$ 解くのに必要な道具

$$\int{f( \varphi (x)) \varphi ’(x)}dx=\int_{}{}{f(t)}dx$$

φ(x)=tとする。

$$\int{log(x)}dx=x・logx-x$$

部分積分$\int{f(x)g(x)}dx=F(x)g(x)-\int{F(x)g^{\prime} (x)}dx$を使って

$$\int{1・log(x)}dx=x・log(x)-\int{x・\frac{1}{x}}dx=x・log(x)-x$$

$$t= \varphi (x)=loglog(x)$$

$$\varphi ^{\prime} (x) =\frac{1}{x・log(x)}$$

$$\int{\frac{logloglog(x)}{x・log(x)}}dx$$

$$=\int{log(loglog(x) ) ^{\prime} logloglog(x)}dx$$

$$=\int{log(t)}dt$$

$$=t・log(t)-t$$

$$=loglog(x)・logloglog(x)-loglog(x)$$

たまたま、loglog(x)=tとおくことに気づけたので解けました。

リンク