∫(logloglogx/x・logx)dxの解き方

$\int_{}{}{\frac{logloglog(x)}{x・log(x)}}dx$の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。

$\int_{}{}{\frac{logloglog(x)}{x・log(x)}}dx$ 解くのに必要な道具

$$\int_{}{}{f( \varphi (x)) \varphi ’(x)}dx=\int_{}{}{f(t)}dx$$

φ(x)=tとする。

$$\int_{}{}{log(x)}dx=x・logx-x$$

部分積分$\int_{}{}{f(x)g(x)}dx=F(x)g(x)-\int_{}{}{F(x)g^{\prime} (x)}dx$を使って

$$\int_{}{}{1・log(x)}dx=x・log(x)-\int_{}{}{x・\frac{1}{x}}dx=x・log(x)-x$$

$$t= \varphi (x)=loglog(x)$$

$$\varphi ^{\prime} (x) =\frac{1}{x・log(x)}$$

$$\int_{}{}{\frac{logloglog(x)}{x・log(x)}}dx$$

$$=\int_{}{}{log(loglog(x) ) ^{\prime} logloglog(x)}dx$$

$$=\int_{}{}{log(t)}dt$$

$$=t・log(t)-t$$

$$=loglog(x)・logloglog(x)-loglog(x)$$

たまたま、loglog(x)=tとおくことに気づけたので解けました。

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