プログラム・数学リファレンス

∫(logloglogx/x・logx)dxの解き方

\(\int_{}{}{\frac{logloglog(x)}{x・log(x)}}dx\)の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。

\(\int_{}{}{\frac{logloglog(x)}{x・log(x)}}dx\) 解くのに必要な道具

  1. 置換積分
  2. 対数関数の不定積分

置換積分

$$\int_{}{}{f( \varphi (x)) \varphi ’(x)}dx=\int_{}{}{f(t)}dx$$

φ(x)=tとする。

対数関数の不定積分

$$\int_{}{}{log(x)}dx=x・logx-x$$

証明

部分積分\(\int_{}{}{f(x)g(x)}dx=F(x)g(x)-\int_{}{}{F(x)g^{\prime} (x)}dx\)を使って

$$\int_{}{}{1・log(x)}dx=x・log(x)-\int_{}{}{x・\frac{1}{x}}dx=x・log(x)-x$$

\(\int_{}{}{\frac{logloglogx}{xlogx}}dx\)の解法

loglog(x)=tとおく

$$t= \varphi (x)=loglog(x)$$

$$\varphi ^{\prime} (x) =\frac{1}{x・log(x)}$$

$$\int_{}{}{\frac{logloglog(x)}{x・log(x)}}dx$$

$$=\int_{}{}{log(loglog(x) ) ^{\prime} logloglog(x)}dx$$

$$=\int_{}{}{log(t)}dt$$

$$=t・log(t)-t$$

$$=loglog(x)・logloglog(x)-loglog(x)$$

たまたま、loglog(x)=tとおくことに気づけたので解けました。

参考文献