∫(x-3)/(x^2+1)dx の解き方 置換積分

2019年8月4日

∫(x-3)/(x^2+1)dx を解くのに必要な道具 1.対数関数の 置換積分 2.アークタンジェントの積分公式

\(\int_{}{}{\frac{x-3}{x^2+1}}dx\) の解き方を検索しても出てこなかったので記事にしました。

数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。

\(\int_{}{}{\frac{x-3}{x^2+1}}dx\) を解くのに必要な道具 ∫(x-3)/(x^2+1)dx を解くのに必要な道具

対数関数の 置換積分

$$\int_{}{}{\frac{ \varphi ^{\prime} (x)}{ \varphi (x)}}dx= log| \varphi (x) |$$

証明

$$(log\int_{}{}{(x)}) ^{\prime} = \frac{1}{ \int_{}{}{(x)}}・\int_ {}{ ^{\prime} } {(x)} =\frac{ \int_ {}{ ^{\prime} } {(x)} }{ \int_{}{}{(x)} } $$

対数微分の公式から導けます。

アークタンジェントの積分公式

$$\int_{}{}{\frac{1}{a^2+x^2}}dx=\frac{1}{a} \tan^{-1} (\frac{x}{a})$$

証明

$$(\tan^{-1}(\frac{x}{a} ) ) ^{\prime}=\frac{1}{a}\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}=\frac{a}{a^2+x^2}$$

アークタンジェントの微分公式から導けました。

\(\int_{}{}{\frac{x-3}{x^2+1}}dx\) の解法 ∫(x-3)/(x^2+1)dx の解法

$$\int_{}{}{\frac{x-3}{x^2+1}}dx=\frac{1}{2} \int_{}{}{\frac{2x}{x^2+1}}dx – 3\int_{}{}{\frac{1}{x^2+1}}dx=\frac{1}{2} \int_{}{}{\frac{ (x^2+1) ^{\prime} }{(x^2+1) }}dx – 3\int_{}{}{\frac{1}{x^2+1}}dx $$

$$=\frac{1}{2}log(x^2+1)-3tan^{-1}x$$

解法が分かれば容易に解ける問題ですが最初は\((x^2+1)=t\)と置いたり試行錯誤しました。

参考文献

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