「多重積分」の記事一覧

$\iiint_V sin(x+y+z)dxdydz\ V:0\le y\le x\le\frac{\pi}{2},\ 0\le z\le x+y$を解くのに必要な道具 固定された変数の値に依存する積分区間を先に積分する。 積分区間 固定された変数の値に依存する積分区間を先に積分する。 $\iiint_V sin(x+y+z)dxdydz\ V:0\le y\le x\le\frac{\pi}{2},\ 0\le z\le x+y$の解法 積分区間 $$0\le x\le \frac{\pi}{2},\ 0\le y\le x,\ 0\le z\le x+y$$ 1変数関数の積分を3度行う累次積分 $$\iiint_V sin(x+y+z)dxdydz=\int_0^\frac{\pi}{2}dx\int_0^xdy\int_0^{x+y}sin(x+y+z)dz$$ $$=-\int_0^\frac{\pi}{2}dx\int_0^xdy[cos(x+y+z)]^{x+y}_0=-\int_0^\frac{\pi}{2}dx\int_0^x(cos(2x+2y)-cos(x+y))dy$$ $$=-\int_0^\frac{\pi}{2}dx\left[\frac{1}{2}sin(2x+2y)-sin(x+y)\right]^x_0=-\int_0^\frac{\pi}{2}\left(\left(\frac{1}{2}sin4x-sin2x\right)-\left(\frac{1}{2}sin2x-sinx\right)\right)dx$$ $$=-\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\left(sin4x-3sin2x+2sinx\right)dx =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{4}cos4x-\frac{3}{2}cos2x+2cosx\right]^{\frac{\pi}{2}}_0$$ $$=\frac{1}{8}(cos2\pi-6cos\pi+8cos\frac{\pi}{2}-(cos0-6cos0+8cos0))$$ $$=\frac{1}{8}(1+6-(1-6+8))=\frac{1}{8}(7-3)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$ 参考文献 リンク

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∫∫∫v sin(x+y+z)dxdydz V:0<=y<=x<=π/2,0<=z<=x+y