連立微分方程式アーカイブ - オールラウンダーを目指して

３つの関数の積の積分 が３つの関数の積の導関数の公式の逆演算で解けるのではないかと思い試してみました。 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。 $\int_0^t(e^{t-s}cos\ s+\frac{(t^2-s^2)e^{t-s}sin s}{2})ds+2e^t+\frac{e^tt^2}{2}$の解き方 $\int_0^t(e^{t-s}cos s+\frac{(t^2-s^2)e^{t-s}sin s}{2})ds+2e^t+\frac{e^tt^2}{2}$を解くのに必要な道具 ３つの関数の積の導関数の公式の逆演算部分積分 「３つの関数の積の導関数の公式」の逆演算 ３つの関数の積の導関数の公式 $y'=f'gh+fg'h+fgh'$ 「３つの関数の積の導関数の公式」の証明 積の導関数の公式より$y'=(fg)'h+(fg)h',\ y'=(f'g+fg')h+(fg)h',\ y'=f'gh+fg'h+fgh'$ 「３つの関数の積の導関数の公式」の逆演算 $$((f(x)g(x)h(x))'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$$ 両辺を積分して整理すると$\int f(x)g(x)h'(x)dx=f(x)g(x)h(x)-\int f'(x)g(x)h(x)dx-\int f(x)g'(x)h(x)dx$ $\int h(x)dx=H(x)$と置いて書き換えると$\int f(x)g(x)h(x)dx=f(x)g(x)H(x)-\int f'(x)g(x)H(x)dx-\int f(x)g'(x)H(x)dx$ 部分積分 $$\int_{}{}f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int_{}{}F(x)g'(x)dx$$ $\int_0^t(e^{t-s}cos s+\frac{(t^2-s^2)e^{t-s}sin s}{2})ds+2e^t+\frac{e^tt^2}{2}$の解き方 $\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds$の計算 $$\int_{}{}e^{t-s}sin\ s\ ds=-e^{t-s}cos\ s-\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds$$ $$\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds=e^{t-s}sin\ s-e^{t-s}cos\ s-\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds,\ 2\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds=e^{t-s}sin\ s-e^{t-s}cos\ s$$ $$\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds=\frac{1}{2}e^{t-s}sin\ s-\frac{1}{2}e^{t-s}cos\ s$$ $\frac{t^2}{2}\int_{}{}e^{t-s}sin\ s\ ds$の計算 $$\frac{t^2}{2}\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds=\frac{t^2}{2}\left(e^{t-s}sin\ s+\int_{}{}e^{t-s}sin\ s\ ds\right)$$ $$\frac{t^2}{2}\int_{}{}e^{t-s}sin\ s\ ds=\frac{t^2}{2}\left(-e^{t-s}cos\ s-e^{t-s}sin\ s-\int_{}{}e^{t-s}sin\ s\ ds\right)$$ $$t^2\int_{}{}e^{t-s}sin\ s\ ds=-\frac{t^2}{2}e^{t-s}cos\ s-\frac{t^2}{2}e^{t-s}sin\ s,\ \frac{t^2}{2}\int_{}{}e^{t-s}sin\ s\ ds=-\frac{t^2}{4}e^{t-s}cos\ s-\frac{t^2}{4}e^{t-s}sin\ s$$ $-\frac{1}{2}\int_{}{}s^2e^{t-s}sin\ s\ ds$の計算 $$-\frac{1}{2}\int_{}{}s^2e^{t-s}cos\ s\ ds=-\frac{1}{2}\left(s^2e^{t-s}sin\ s-2\int_{}{}se^{t-s}sin\ s\ ds+\int_{}{}s^2e^{t-s}sin\ s\ ds\right)$$ $$-\frac{1}{2}\int_{}{}s^2e^{t-s}sin\ s\ ds=-\frac{1}{2}\left(-s^2e^{t-s}cos\ s+2\int_{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds-\int_{}{}s^2e^{t-s}cos\ s\ ds\right)$$ $$-\frac{1}{2}\int_{}{}s^2e^{t-s}sin\ s\ ds$$ $$=-\frac{1}{2}\left(-s^2e^{t-s}cos\ s+2\int_{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds-s^2e^{t-s}sin\ s+2\int_{}{}se^{t-s}sin\ s\ ds-\int_{}{}s^2e^{t-s}sin\ s\ ds\right)$$ $$-\int_{}{}s^2e^{t-s}sin\ s\ ds=-\frac{1}{2}\left(-s^2e^{t-s}cos\ s+2\int_{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds-s^2e^{t-s}sin\ s+2\int_{}{}se^{t-s}sin\ s\ ds\right)$$ $$-\frac{1}{2}\int_{}{}s^2e^{t-s}sin\ s\ ds=-\frac{1}{4}\left(-s^2e^{t-s}cos\ s+2\int_{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds-s^2e^{t-s}sin\ s+2\int_{}{}se^{t-s}sin\ s\ ds\right)$$ $2\int{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds$の計算 $$2\int{}{}se^{t-s}sin\ s\ ds=2\left(-se^{t-s}cos\ s+\int_{}{}e^{t-s}cos\ s \ sd-\int_{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds\right)$$ $$2\int{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds=2\left(se^{t-s}sin\ s-\int_{}{}e^{t-s}sin\ s \ ds-se^{t-s}cos\ s+\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds-\int_{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds\right)$$ $$4\int{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds=2\left(se^{t-s}sin\ s-\int_{}{}e^{t-s}sin\ s \ ds-se^{t-s}cos\ s+\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds\right)$$ $$2\int{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds=se^{t-s}sin\ s-\int_{}{}e^{t-s}sin\ s \ ds-se^{t-s}cos\ s+\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds$$ $\int_{}{}e^{t-s}sin\ s\ ds$の計算 $$\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds=e^{t-s}sin\ s+\int_{}{}e^{t-s}sin\ s\ ds$$ $$\int_{}{}e^{t-s}sin\ s\ ds=-e^{t-s}cos\ s-e^{t-s}sin\ s\ ds-\int_{}{}e^{t-s}sin\ s\ ds$$ $$2\int_{}{}e^{t-s}sin\ s\ ds=-e^{t-s}cos\ s-e^{t-s}sin\ s,\ \int_{}{}e^{t-s}sin\ s\ ds=-\frac{1}{2}e^{t-s}cos\ s-\frac{1}{2}e^{t-s}sin\ s$$ $\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds$の計算 $$\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds=e^{t-s}sin\ s+\int_{}{}e^{t-s}sin\ s\ ds,\ \int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds=e^{t-s}sin\ s-e^{t-s}cos\ s-\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds$$ $$2\int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds=e^{t-s}sin\ s-e^{t-s}cos\ s,\ \int_{}{}e^{t-s}cos\ s\ ds=\frac{1}{2}e^{t-s}sin\ s-\frac{1}{2}e^{t-s}cos\ s$$ $2\int{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds$の計算の続き $$2\int{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds=se^{t-s}sin\ s+\frac{1}{2}e^{t-s}cos\ s+\frac{1}{2}e^{t-s}sin\ s-se^{t-s}cos\ s+\frac{1}{2}e^{t-s}sin\ s-\frac{1}{2}e^{t-s}cos\ s$$ $$2\int{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds=-se^{t-s}cos\ s+se^{t-s}sin\ s+e^{t-s}sin\ s$$ $2\int{}{}se^{t-s}sin\ s\ ds$の計算 $$2\int{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds=2\left(se^{t-s}sin\ s-\int_{}{}e^{t-s}sin\ s \ ds+\int_{}{}se^{t-s}sin\ s\ ds\right)$$ $$2\int{}{}se^{t-s}sin\ s\ ds=2\left(-se^{t-s}cos\ s+\int_{}{}e^{t-s}cos\ s \ ds-\int_{}{}se^{t-s}cos\ s\ ds\right)$$ $$2\int{}{}se^{t-s}sin\ s\ ds=2\left(-se^{t-s}cos\ s+\int_{}{}e^{t-s}cos\ s \ ds-se^{t-s}sin\ s+\int_{}{}e^{t-s}sin\ s \ ds-\int_{}{}se^{t-s}sin\ s\ ds\right)$$ $$4\int{}{}se^{t-s}sin\ s\ ds=2\left(-se^{t-s}cos\ s+\int_{}{}e^{t-s}cos\ s \ ds-se^{t-s}sin\ s+\int_{}{}e^{t-s}sin\ s \ ds\right)$$ $$2\int{}{}se^{t-s}sin\ s\ ds=-se^{t-s}cos\ s+\int_{}{}e^{t-s}cos\ s \ ds-se^{t-s}sin\ s+\int_{}{}e^{t-s}sin\ s \ ds$$ $$=-se^{t-s}cos\ s+\frac{1}{2}e^{t-s}sin\ s-\frac{1}{2}e^{t-s}cos\ s-se^{t-s}sin\ s-\frac{1}{2}e^{t-s}cos\ s-\frac{1}{2}e^{t-s}sin\ s$$ $$2\int{}{}se^{t-s}sin\ s\ ds=-se^{t-s}cos\ s-se^{t-s}sin\ s-e^{t-s}cos\ s$$ $-\frac{1}{2}\int_{}{}s^2e^{t-s}sin\ s\ ds$の計算の続き $$-\frac{1}{2}\int_{}{}s^2e^{t-s}sin\ s\ ds=-\frac{1}{4}(-s^2e^{t-s}cos\ s-se^{t-s}cos\ s+se^{t-s}sin\ s$$ $$+e^{t-s}sin\ s-s^2e^{t-s}sin\ s-se^{t-s}cos\ s-se^{t-s}sin\ s-e^{t-s}cos\ s)$$ $$=-\frac{1}{4}(-s^2e^{t-s}cos\ s-2se^{t-s}cos\ s+e^{t-s}sin\ s-s^2e^{t-s}sin\ s-e^{t-s}cos\ s)$$ $\int_0^te^{t-s}cos\ s\ ds$の計算 $$\int_0^te^{t-s}cos\ s\ ds=\left[\frac{1}{2}e^{t-s}sin\ s-\frac{1}{2}e^{t-s}cos\ s\right]^t_0=\frac{1}{2}sin\ t-\frac{1}{2}cos\ t+\frac{1}{2}e^t$$ $\frac{t^2}{2}\int_0^te^{t-s}sin\ s\ ds$の計算 $$\frac{t^2}{2}\int_0^te^{t-s}sin\ s\ ds=\left[-\frac{t^2}{4}e^{t-s}cos\ s-\frac{t^2}{4}e^{t-s}sin\ s\right]^t_0=-\frac{t^2}{4}cos\ t-\frac{t^2}{4}sin\ t+\frac{t^2}{4}e^t$$ $-\frac{1}{2}\int_0^ts^2e^{t-s}sin\ s\ ds$の計算 $$-\frac{1}{2}\int_0^ts^2e^{t-s}sin\ s\ ds=\left[\frac{1}{4}s^2e^{t-s}cos\ s+\frac{1}{2}se^{t-s}cos\ s-\frac{1}{4}e^{t-s}sin\ s-\frac{1}{4}s^2e^{t-s}sin\ s+\frac{1}{4}e^{t-s}cos\ s\right]^t_0$$ $$=\frac{t^2}{4}cos\ t+\frac{t}{2}cos\ t-\frac{1}{4}sin\ t+\frac{t^2}{4}sin\ t+\frac{t}{4}cos\ t-\frac{1}{4}e^t$$ $\int_0^t(e^{t-s}cos\ s+\frac{(t^2-s^2)e^{t-s}sin s}{2})ds+2e^t+\frac{e^tt^2}{2}$の計算 $$\int_0^t(e^{t-s}cos\ s+\frac{(t^2-s^2)e^{t-s}sin s}{2})ds+2e^t+\frac{e^tt^2}{2}=\frac{1}{4}sin\ t-\frac{1}{4}cos\ t+\frac{9}{4}e^t+\frac{3}{4}t^2e^t+\frac{2}{4}tcos\ t$$ 参考文献 リンク 独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！